​

Výrok

Definice: Výrok je jakékoliv tvrzení, u kterého lze určit, zda je pravdivé či ne. Pravdivostní hodnota: Říká, zda je výrok pravdivý či nepravdivý. Negace výroku: Takový výrok, který má vždy opačnou pravdivostní hodnotu, než výrok původní, tedy popírá pravdivostní hodnotu původního výroku. Výroky se značí velkými písmeny, např. $A$. Pravdivostní hodnota výroků se značí $v(A) = 1$ (moc se nepoužívá, ale je to na portálu matematiky MFF UK). Negace výroků se značí $\neg A$.

​

Složený výrok

Definice: Výrok, který vznikl spojením jiných výroků pomocí logických spojek. Konjunkce: Spojka “a”, $A \wedge B, \neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B$ Disjunkce: Spojka “nebo” $A \vee B, \neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B$, ostrá disjunkce $A \underline{\vee} B$ pravdivá právě tehdy, když je pravdivý právě jeden z výroků. Implikace: “Když tohle, tak tamto.” $A \Rightarrow B, \neg (A \Rightarrow B) = A \wedge \neg B$ Ekvivalence: “Tohle, právě tehdy, když tamto.” $A \Leftrightarrow B, \neg (A \Leftrightarrow B) = A \Leftrightarrow \neg B$ Tabulka pravdivostních hodnot:

​

Složitější výroky

Pravdivostní hodnotu určíme postupně, rozdělením výroku na dílčí výroky. $A,B$ nejsou de facto výroky, ale výrokové proměnné, výroky jsou tvrzení, která se za nimi skrývají. Tautologie: Složený výrok, který je vždy pravdivý. Kontradikce: Složený výrok, který je vždy nepravdivý. Obrácená implikace: Máme $A \Rightarrow B$, obrácená implikace je $B \Rightarrow A$. Obměněná implikace: Máme $A \Rightarrow B$, obměna je $\neg B \Rightarrow \neg A$, což má stejnou pravdivostní hodnotu, jako původní implikace.

​

Kvantifikátory

Definice: Matematický kvantifikátor je symbol nebo výraz, který určuje, pro kolik prvků dané tvrzení platí. Upravují tvrzení typu $x < 5$ na výrok. Obecný kvantifikátor: $\forall$, čteme “pro každé”, označuje, že výrok platí pro libovolnou hodnotu za tímto kvantifikátorem - tvoří obecný výrok. Existenční kvantifikátor: $\exists$, čteme “existuje (alespoň jedno)”, označuje, že výrok platí pro alespoň jednu hodnotu za tímto kvantifikátorem - tvoří existenční výrok. $\exists!$ (kvantifikátor o jednoznačné existenci) značí “existuje právě jedno” - tvoří výrok o jednoznačné existenci.

​

Matematická věta, axiom, definice

Definice m. axiomu: Tvrzení, u kterého je předem známo, že je pravdivé a není třeba ho dokazovat. Definice m. věty: Tvrzení, které není axiom (musí se dokazovat) a slouží k popisu poznatků. Definice definice: Přesné a jednoznačné vymezení určitého pojmu.

​

Důkazy

Definice: Postup, kterým dokazujeme matematické věty. Nutná a postačující podmínka: Uvažujme implikaci $A \Rightarrow B$, pak je $B$ nutná podmínka a $A$ postačující podmínka. Nutná podmínka musí platit, postačující podmínka dokazuje. Přímý důkaz: Vyjdeme z ověřených faktů (vět a axiomů) a přímo se dostaneme k nové větě. Nepřímé důkazy:

• Důkaz obměněnou implikací: Jelikož obměna má stejnou pravdivostní hodnotu, jako původní implikace, pokud dokážeme obměnu, dokázali jsme i původní implikaci.
• Důkaz sporem: Předpokládáme negaci výroku, který chceme dokázat, než dojdeme ke sporu, to dokáže, že negace nemůže platit, tedy platí původní výrok.

Důkaz matematickou indukcí: “Do trolejbusu se vejde nekonečně mnoho lidí.” - pí Soukupová

• Používá se pro věty týkající se přirozených čísel.

1. Dokážeme, že výrok platí pro nějaký base case $n_0$.
2. Předpokládáme, že existuje $n$, pro který tento výrok platí.
3. Dokážeme, že pokud výrok platí pro $n$, bude platit i pro $n+1$.
4. Z toho můžeme vyvodit, že výrok platí pro všechna $\mathbb{N} \geq n_0$.