​

Soustava lineárních rovnic

Definice: Soustava lineárních rovnic je systém více lineárních rovnic o stejných neznámých.

​

Počet řešení soustavy

• Právě $1$ řešení - soustava je určitá
• Žádné řešení - pokud vyjde blbost, soustava je neslučitelná
• Nekonečně mnoho řešení - pokud vyjde $0 = 0$, soustava je neurčitá

​

Metody řešení soustav

​

Dosazovací metoda

Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do ostatních rovnic. Tím si zredukujeme soustavu rovnic o jednu neznámou. Opakujeme, dokaď nemáme jednu rovnici o jedné neznámé. Př.: $$I. \, x+y+z=6 \\ II. \, 2x-y+z = 3 \\ III. \, x+2y-z = 2$$ Řešení: $$I. \, x = 6-y-z \\ II. \,2(6-y-z)-y-z = 3 \\ IV. \, 3y+z = 9 \\ III. \, (6-y-z) + 2y -z = 2 \\ y-2z = -4 \\ y = 2z - 4 \\ IV. \, 3(2z-4) + z = 9 \\ \Rightarrow z = 3, y = 2, x = 1$$

​

Sčítací metoda

Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení alespoň jedna neznámá zmizela. Tím si zredukujeme soustavu rovnic o jednu neznámou. Opakujeme, dokaď nemáme jednu rovnici o jedné neznámé. Př.: $$I. \, x+y+z=6 \\ II. \, 2x-y+z = 3 \\ III. \, x+2y-z = 2$$ Řešení: $$I. + II. : 3x + 2z = 9 \\ 2\cdot I. - III. : x + 3z = 10 \\ (I. + II.) - 3(2\cdot I - III.): -7z = -21 \\ \Rightarrow z = 3, x = 1, y = 2$$

• Tyto dvě metody samozřejmě můžeme libovolně kombinovat podle toho, co se nám zrovna víc hodí.

​

Grafická metoda

Především pro rovnice o 2 neznámých, převedeme na fce $y = f(x)$ a najdeme jejich průnik na rovině.

​

Gaussova eliminační metoda

Soustavu zapíšeme jako matici a převedeme ekvivalentními úpravami na horní trojúhelníkovou matici/jednotkovou matici a z toho nám vyjdou neznámé. Př.: $$I. \, x+y+z=6 \\ II. \, 2x-y+z = 3 \\ III. \, x+2y-z = 2$$ Řešení: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 2&-1&1&3\\ 1&2&-1&2 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-3&-1&-9\\ 0&1&-2&-4 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-2&-4 \\ 0&0&-7&-21\end{array} \right) \\ \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1\\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&3\end{array} \right) \Rightarrow x = 1, y = 2, z = 3$$

​

Matice

Definice: Matice je obdélníkové schéma čísel nebo jiných objektů nazývaných “prvky matice”. Rozměr: Je dán počtem řádků a sloupců, které matice obsahuje. Matice rozměru $m \times n$ má $m$ řádků a $n$ sloupců. Značení: $A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{pmatrix}$, matici značíme velkým písmene, prvek na řádku $i$ a sloupci $j$ značíme $a_{i,j}$.

​

Druhy matic

• Řádková matice: $m = 1, A = \begin{pmatrix} 1&2&3\end{pmatrix}$
• Sloupcová matice: $n = 1, A = \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}$
  • Tyto dvě matice taky mohou reprezentovat vektory (jsou to vektory).
• Čtvercová matice: $m = n, A = \begin{pmatrix}1&2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
• Nulová matice: $\forall i,j : a_{i,j} = 0, A = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$
• Jednotková matice: Čtvercová matice, která má na hlavní diagonále $1$ a všude jinde $0$, značíme: $I = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$

​

Operace s maticemi

Sčítání matic: Můžeme sčítat pouze matice stejného rozměru. Výsledkem je matice stejného rozměru: $$A+B = C;c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}$$ Násobení matic reálným číslem: Výsledkem je matice stejného rozměru. $$A \cdot k = B; b_{i,j} = a_{i,j} \cdot k$$ Odečítání matic: Výsledkem je matice stejného rozměru: $A - B = A + (-1) \cdot B$ Transpozice: Výsledkem je matice rozměru $n \times m$ $A^T = B;b_{i,j} = a_{j,i}$ Násobení matic: Můžeme násobit pouze matice, pokud splňují rozměry $m \times n$ a $n \times p$, druhá matice prostě musí mít stejný počet řádků jako ta první sloupců. Výsledkem je matice $m \times p$: $$AB = C; c_{i,j} = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik} \cdot b_{kj}$$

• Součin většinou není komutativní!!!

​

Determinant

Determinant je číslo přiřazené čtvercové matici. Značení: $\text{det}(A), \begin{vmatrix} \text{zde prvky matice}\end{vmatrix}$ 1x1 matice: $A = \begin{pmatrix} a_{1,1} \end{pmatrix}, \text{det}(A) = \begin{vmatrix} a_{1,1} \end{vmatrix} = a_{1,1}$ 2x2 matice: $$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} \\ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix} = a_{1,1} \cdot a_{2,2} - a_{2,1} \cdot a_{1,2}$$ 3x3 matice: Sarrusovo pravidlo $\text{det}(A) = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{2,1}a_{3,2}a_{1,3} + a_{3,1}a_{1,2}a_{2,3} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{2,3}a_{3,2}a_{1,1} - a_{3,3}a_{1,2}a_{2,1}$ Vyšší stupně: Rozvoj $$\text{det}(A) = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{i,k}A_{i,k}; 1 \leq k \leq m \land k \in \mathbb{N}$$

• Matice $A_{i,k}$ je matice, která vznikne vynecháním $i$tého řádku a $k$tého sloupce z matice.
• Tento postup můžeme použít i s prohozením $i,k$, pokud splníme $1 \leq k \leq n$ a v sumě nahradíme $n$ písmenem $m$.

$\Rightarrow$ Pokud má matice nulový sloupec nebo nulový řádek, její determinant je roven $0$. Pokud má matice nenulový determinant, má její soustava $n$ rovnic o $n$ neznámých právě jedno řešení. Jinak má buď žádné nebo nekonečně mnoho řešení.

​

Inverzní matice k čtvercové matici

Inverzní matice existuje $\Leftrightarrow \text{det}(A) \neq 0$. Značení: $A^{-1}$ Pro inverzní matici platí: $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ Výpočet: $( \, A \, \vert \, I\, ) \sim ... \sim (\, I \, \vert \, A^{-1} \,)$ Pomocí inverzních matic můžeme řešit maticové rovnice, např. $$AX = B \\ X = A^{-1} B$$

​

Cramerovo pravidlo

Pro soustavu $n$ rovnic o $n$ neznámých, jejíž determinant je nenulový (má právě jedno řešení) ho můžeme využít k jednoduchému nalezení neznámých. $$x_i = \frac{D_i}{D}$$ Matice $D_i$ vznikne nahrazením $i$tého sloupce sloupcem hodnot pravých stran.