​

Trojúhelník

Definice: Nechť máme tři různé nekolineární body $A,B,C$. Trojúhelník $\triangle ABC$ je průnik polorovin $ABC, BCA, CAB$. Vrcholy trojúhelníku: Body $A,B,C$. Strany trojúhelníku: Úsečky $AB, BC, CA$. $\vert AB \vert = c, \vert BC \vert = a, \vert CA \vert = b$ Vnitřní úhly trojúhelníku: Úhly $\angle ABC, \angle BCA, \angle CAB$. $$\vert \angle ABC \vert = \beta, \vert \angle BCA \vert = \gamma, \vert \angle CAB \vert = \alpha$$ Součet vnitřních úhlů trojúhelníku: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ Trojúhelníková nerovnost: $a+b>c$ pro jakoukoliv permutaci stran, jinak trojúhelník nemůže vzniknout. Rozdělení trojúhelníků podle stran:

• Rovnostranný: $a = b = c, \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$
• Rovnoramenný: Dvě strany stejně dlouhé, úhly jim protější jsou stejné. Straně, která má jinou délku, než zbývající dvě, se říká základna.
• Obecný: Prostě obecný může platit všechno.

Rozdělení trojúhelníků podle úhlů:

• Ostroúhlý: $\alpha < 90^\circ \land \beta < 90^\circ \land \gamma < 90^\circ$
• Pravoúhlý: Jeden úhel je roven $90^\circ$. Strana proti pravému úhlu se nazývá přepona. Strany přilehlé pravému úhlu se nazývají odvěsny.
  • Thaletova věta exists
• Tupoúhlý: Jeden úhel je větší než $90^\circ$.

​

Některé zajímavé věci v trojúhelníku

Výšky: Výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a pata kolmice vedené tímto bodem na protější stranu.

• Značíme $v_a, v_b, v_c$.
• Výšky se protnou v jednom společném bodě, kterému říkáme ortocentrum.

Osy stran trojúhelníku:

• Osy stran se protnou v jednom společném bodě, což je střed kružnice opsané (každému trojúhelníku můžeme opsat kružnici).

Osy úhlů trojúhelníku:

• Osy úhlů se protnou v jednom společném bodě, což je střed kružnice vepsané (každému trojúhelníku můžeme vepsat kružnici).

Těžnice: Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a střed protější strany.

• Značíme $t_a, t_b, t_c$.
• Těžnice se protnou v jednom společném bodě, kterému říkáme těžiště.
• Těžiště dělí každou těžnici na úseky dlouhé $\frac{1}{3}$ a $\frac{2}{3}$ délky těžnice, menší je u strany, větší je u vrcholu.

Střední příčky: Střední příčka je úsečka, jejímiž krajními body jsou středy dvou stran trojúhelníku.

• Každá střední příčka je rovnoběžná s třetí stranou a má délku $s = \frac{a}{2}$, kde $a$ je délka třetí strany.

​

Obsah a obvod v trojúhelníku

Obvod: $o = a + b + c$ Obsah: Vícero vzorců:

• $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot v_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot v_c$
• $S = \frac{1}{2}ab \sin{\gamma} = \frac{1}{2}bc \sin{\alpha} = \frac{1}{2}ca \sin{\beta}$
• $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}; s = \frac{a+b+c}{2}$ - Heronův vzorec
• Obsah pravoúhlého trojúhelníku: $S = \frac{1}{2}ab$, kde $a,b$ jsou odvěsny.
• Obsah rovnostranného trojúhelníku: $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$, kde $a$ je délka strany.

​

Pythagorova věta

Trojúhelník je pravoúhlý s odvěsnami $a,b$ a přeponou $c \Leftrightarrow a^2 + b^2 = c^2$.

​

Euklidovy věty

Euklidova věta o odvěsně: Mějme pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami $a,b$ a přeponou $c$. Výška na stranu $c$ je $v_c$ a její pata je $P_c$. Označme $\vert P_cB \vert = c_a, \vert P_cA \vert = c_b$. Poté platí: $$a^2 = c \cdot c_a \\ b^2 = c \cdot c_b$$ Euklidova věta o výšce: Mějme stejné předpoklady jako u věty výše. Poté platí: $$v_c^2 = c_a \cdot c_b$$

​

Čtyřúhelník

Definice: Nechť $A,B,C,D$ jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem $ABCD$ nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy $A,B,C,D$ a její vnitřní oblasti. Vrcholy čtyřúhelníku: Body $A,B,C,D$. Strany čtyřúhelníku: Úsečky $AB, BC, CD, DA$. $$\vert AB \vert = a, \vert BC \vert = b, \vert CD \vert = c, \vert DA \vert = d$$ Vnitřní úhly čtyřúhelníku: Úhly $\angle ABC, \angle BCD, \angle CDA, \angle DAB$. $$\vert \angle ABC \vert = \beta, \vert \angle BCD \vert = \gamma, \vert \angle CDA \vert = \delta, \vert \angle DAB \vert = \alpha$$ Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

​

Tětivový a tečnový čtyřúhelník

Tětivový čtyřúhelník: Je čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici.

• Čtyřúhelník je tětivový $\Leftrightarrow \alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$.
• Spousta dalších useful věcí.

Tečnový čtyřúhelník: Je čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici.

• Čtyřúhelník je tečnový $\Leftrightarrow a + c = b + d$.

Dvojstředový čtyřúhelník: Je čtyřúhelník, který je tětivový a tečnový zároveň.

​

Základní druhy čtyřúhelníků

Čtverec: Je čtyřúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny úhly jsou pravé (mají $90^\circ$).

• $o = 4a, S = a^2$, kde $a$ je délka strany čtverce.
• Protilehlé strany jsou rovnoběžné.
• Protilehlé úhly jsou stejně velké.
• Úhlopříčky $e,f$ jsou na sebe kolmé a vzájemně se půlí.
• Je dvojstředový.

Obdélník: Je čtyřúhelník, který má všechny úhly pravé (mají $90^\circ$).

• $o = 2(a+b), S = ab$, kde $a,b$ jsou délky stran obdélníku.
• Protilehlé strany jsou rovnoběžné.
• Protilehlé úhly jsou stejně velké.
• Úhlopříčky $e,f$ jsou na sebe kolmé a vzájemně se půlí.
• Je dvojstředový.

Kosočtverec: Je čtyřúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé.

• Protilehlé strany jsou rovnoběžné.
• Protilehlé úhly jsou stejně velké.
• Úhlopříčky $e,f$ jsou na sebe kolmé a vzájemně se půlí.
• $o = 4a, S = a \cdot v_a = \frac{e\cdot f}{2} = a^2\sin{\alpha}$
• Je tečnový.

Rovnoběžník: Je čtyřúhelník, který má dvojice protějších stran rovnoběžné.

• Protilehlé úhly jsou stejně velké.
• Úhlopříčky $e,f$ se vzájemně půlí.
• $o = 2(a+b), S = a \cdot v_a = b \cdot v_b$

Lichoběžník: Je čtyřúhelník, který má právě jednu dvojici protějších stran rovnoběžnou.

• Strany, které jsou na sebe rovnoběžné, se nazývají základny. Zbylé jsou ramena.
• $S = \frac{a+c}{2} \cdot v$, kde $a,c$ jsou délky jeho základen.
• “Věta o motýlích křídlech”.
• Rovnoramenný lichoběžník: $b=d$.
  • Je tětivový.
• Pravoúhlý lichoběžník: Jedno rameno je kolmé k základnám.

Deltoid: Je čtyřúhelník, který má dvě dvojice shodných sousedních stran.

• Je osově souměrný podle jedné z úhlopříček.
• Úhlopříčky $e,f$ jsou na sebe kolmé.
• $S = \frac{e\cdot f}{2} = ab \sin{\theta}$, kde $a,b$ jsou délky různých stran a $\theta$ je úhel, který svírají.
• Je tečnový.