​

Rovnice

Definice: Rovnice je rovnost dvou výrazů, která obsahuje jednu nebo více proměnných. $$f(x) = g(x)$$

• $f(x)$ se nazývá levá strana rovnice, $g(x)$ se nazývá pravá strana rovnice

​

Kořen rovnice

Definice: Kořen rovnice, též řešení rovnice, je hodnota proměnné (sada hodnot proměnných), pro které je rovnost splněna. Množinu všech kořenů/řešení rovnice značíme $K$.

​

Obor řešení

Pro každou rovnici hledáme řešení v určítém číselném oboru, např. $\mathbb{N, Z}$ - těm se říká diofantické rovnice, $\mathbb{Q}$, nebo $\mathbb{R}$, kterým se budeme dál zabývat.

​

Ekvivalentní úpravy

Při řešení rovnic používáme ekvivalentní úpravy, to jsou ty, které nezmění množinu kořenů. Tím dostaneme jinou rovnici se stejnou množinou kořenů. Pokud změní, musíme to nějak zohlednit.

• Přičtení nebo odečtení stejného čísla $a$ z obou stran rovnice.
• Vynásobení obou stran rovnice nějakým číslem $a \in \mathbb{R}; a \neq 0$.
• Upravovat algebraické výrazy. $x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0$
• Dělit neznámou ve výrazu POZOR, musíme nejprve zohlednit nulovou hodnotu toho, co dělíme: $x(x+1) = 0 \Rightarrow x+1 = 0$ bychom přišli o řešení $x = 0$, tedy ho musíme nejdříve zohlednit.
• Atd.

​

Lineární rovnice s jednou neznámou

Obecný tvar: $ax+b = 0$

• Pokud máme komplikovanější tvar, který je ovšem stále lineární, převedeme na tento případ. Toto platí i u komplikovanějších rovnic, nebudu to již zmiňovat.

Počet kořenů:

• Pokud $a = 0 \land b = 0$, má rovnice nekonečně mnoho řešení (vyjde $0 = 0 \Rightarrow K = \mathbb{R}$).
• Pokud $a=0 \land b\neq 0$, rovnice nemá řešení (vyjde $b = 0 \Rightarrow K = \varnothing$).
• Pokud $a \neq 0$, rovnice má právě jedno řešení.

Řešení pro poslední případ: $$ax+b = 0 \\ ax = -b \\ x = -\frac{b}{a}$$ $$K = \{-\frac{b}{a}\}$$

​

Kvadratické rovnice s jednou neznámou

Obecný tvar: $ax^2 + bx + c = 0$

​

Řešení přes úpravu na čtverec:

$$ax^2 + bx + c = 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \\ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$$ $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

• Tomuto vzorci se říká “kvadratický vzorec” a je to taková ta bruteforce cesta k výsledku.
• Jeho části $b^2 - 4ac$ se říká diskriminant, značíme $D = b^2 - 4ac$.
  • $D < 0 \Rightarrow K = \varnothing$ - $0$ řešení
  • $D = 0 \Rightarrow K = \{-\frac{b}{2a}\}$ - $1$ řešení, tzv. dvojnásobný kořen, $x_1 = x_2$
  • $D > 0 \Rightarrow K = \{x_1; x_2\}$ - $2$ řešení

​

Řešení přes Viètovy vzorce:

$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{c}{a}$$ V některých případech se dají takto jednoduše tipnout kořeny: $$x^2 + 5x + 6 = 0 \\ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -5 \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 6$$ $$x_1 = -2, x_2 = -3$$ Z Viètových vzorců vyplývá: $$(x-x_1)(x-x_2) = 0 \\ x^2 - x(x_1+x_2) + x_1 \cdot x_2 = 0 \\ x^2 - x \cdot (-\frac{b}{a}) + \frac{c}{a} = 0 \\ ax^2 + bx + c = 0$$

• Tedy tento zápis kvadratické rovnice je ekvivalentní tomu obecnému.

​

Polynomické rovnice vyšších stupňů

Obecný tvar: $P(x) = 0$ Až do čtvrtého stupně existují vzorce na jednoduché vyřešení. $\Rightarrow$ Pokud dokážeme tipnout kořen, můžeme z polynomu na levé straně vytknout polynom $(x - x_0)$ a snížit tím stupeň o $1$. Pokud polynom na levé straně dodržuje koeficienty binomické věty, můžeme rozložit na $(x-x_0)^n$. Reciproké rovnice (symetrické či antisymetrické koeficienty) se řeší poměrně jednoduše. Substituce, pokud jsou všechny mocniny násobek nějakého $k > 1$. Average Newtonova numerická metoda zkoušení kořenů. Jinak good luck

​

Rovnice s absolutní hodnotou

Musíme si každou absolutní hodnotu rozdělit na intervaly kdy je kladná a kdy je záporná (a kdy nulová) a v nich to individuálně řešit.

​

Iracionální rovnice

Řešíme prakticky stejně, jako jiné rovnice, s tím rozdílem, že musíme někdy rovnici umocnit. Pokud rovnici umocňujeme na sudý stupeň, musíme si buď ověřit, že obě strany rovnice jsou buď obě nezáporné nebo obě záporné, nebo projít všechny možnosti a na konci udělat zkoušku.

​

Rovnice s parametrem

Je v nich parametr, viz otázka 30.

​

Zkouška

Po vyřešení rovnice je vhodné provést zkoušku, abychom si ověřili, zda všechna řešení, co jsme našli, jsou skutečně řešení. Zkoušku provedeme dosazením každého z řešení do rovnice a uvidíme, zda nám vyjde.