​

Množiny

Definice: Množina je souhrn objektů, který chápeme jako celek. Tyto objekty se nazývají “prvky množiny”. Množiny se značí velkými písmeny (např. $A$), jejich prvky malými ($a$). Zápis množiny výčtem prvků: $A = \{a,b,c\}$ Prázdná množina: $\{\} = \varnothing$, bezprvková množina Chceme-li zapsat, že prvek je v množině, použijeme symbol $\in$ (náleží). V opačném případě použijeme symbol $\notin$ (nenáleží). Zápis množiny pomocí vlastnosti: $A = \{x\in \mathbb{R}; x > 5\}$ Pokud platí, že $\forall x \in A : x \in B$, pak říkáme, že $A$ je podmnožinou $B$. Značíme $A \subseteq B$. Tomuto vztahu se říká inkluze. Pokud platí, že $A \subseteq B \land B \subseteq A$, pak říkáme, že množiny se rovnají, značíme $A = B$.

​

Množinové operace

• Doplněk: Mějme dvě množiny $A,B$, kde $B \subseteq A$. Doplněk $B$ na A$$$$B'_A = \{x; x \in A \land x \notin B\}. Pokud je zřejmé, na jakou množinu doplněk je, stačí psát $B'$.
• Rozdíl: Mějme dvě množiny $A,B$. $A \setminus B = \{x; x \in A \land x \notin B\}$.
• Průnik: Mějme dvě množiny $A,B$. $A \cap B = \{x; x \in A \land x \in B\}$.
• Sjednocení: Mějme dvě množiny $A,B$. $A \cup B = \{x; x \in A \lor x \in B\}$.

Vennovy diagramy: Grafické schematické znázornění několika množin a jejich vzájemných vztahů.

​

Intervaly

Definice: Množina reálných čísel ležících mezi dvěma čísly (těm se říká meze intervalu).

• Obsahuje-li interval meze, říká se mu uzavřený interval, neobsahuje-li meze, říká se mu otevřený interval. Obsahuje-li jen jednu z mezí, říká se mu polootevřený interval.

​

Užití množin při řešení nerovnic

​

Lineární nerovnice

$$2x+3 > 7 \\ 2x > 4 \\ x > 2$$ Množina řešení: $$K = (2,\infty)$$

​

Průnik podmínek více nerovnic

$$A \mathit{:x} > 2 \\ B \mathit{:x} \leq 5$$ $$K_A = (2, \infty) \\ K_B = (-\infty, 5 \rangle$$ Aby nějaké $x$ řešilo obě rovnice, musí splňovat zároveň obě podmínky, tedy množina řešení: $$K = K_A \cap K_B = (2, 5 \rangle$$

​

Sjednocení podmínek více nerovnic

$$x < -2 \lor x \geq 3 \\ K = (-\infty, -2) \cup \langle 3, \infty)$$ Funguje obdobně jako u průniku.

​

Nerovnice s absolutní hodnotou

$$|x| < 3$$ Tyto rovnice musíme rozdělit na intervaly podle nulového bodu absolutní hodnoty a poté pracovat pouze v nich. Nulový bod je v $x = 0$, tedy budeme pracovat v intervalech $(-\infty, 0)$ a $\langle 0, \infty)$ $$x \in \langle0, \infty) \Rightarrow x \geq 0 \\ x < 3 \\ x \in \langle0,3)$$ $$x \in (-\infty, 0) \Rightarrow x < 0 \\ -x > -3 \\ x \in (-3,0)$$ $$K = A \cup B = (-3,3)$$

​

Kvadratické nerovnice

$$x^2 - 5x + 6 > 0$$

1. Je kvadratická funkce otevřená dolů či nahoru (podle koeficientu $a$)?
2. Kde má funkce kořeny, zda nějaké má?

Na základě těchto informací jsme schopni určit, kde je fce větší než 0. $a > 0 \Rightarrow$fce je otevřená nahoru $$(x-3)(x-2) > 0$$ Rozdělíme na intervaly podle kořenů (kořeny samotné brát nemusíme, ty jsou rovny $0$, což není větší než $0$. $$1. \, x \in (-\infty,2)\\ 2. \, x \in (2,3)\\ 3. \, x \in (3, \infty)$$ $$1. \, -\cdot \, - = + \Rightarrow f(x) > 0 \\ 2. \, - \cdot \, + = - \Rightarrow f(x) < 0 \\ 3. \, + \cdot \, + = + \Rightarrow f(x) > 0$$ $$K = (-\infty,2) \cup (3, \infty)$$