Skip to main content

​
Kartézský součin

Definice: Kartézský součin dvou množin A,BA,B je A×B={(a,b):a∈A∧b∈B}A \times B = \{(a,b) :a \in A \land b \in B\} Lze rozšířit na libovolný počet množin. Konkrétní příklad R×R=R2\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 popisuje rovinu (množina všech bodů v rovině), kartézský souřadnicový systém.

​
Relace

Definice: Relace je podmnožina kartézského součinu.

​
Binární relace

Definice: Binární relace je podmnožina kartézského součinu dvou množin, která obvykle určuje nějakou vlastnost. Zápis: [x,y]∈R[x,y] \in R nebo xRyxRy Pokud se jedná o relaci R⊆A×AR \subseteq A\times A, je to relace na množině AA. Můžeme zkoumat určité vlastnosti:
  • Reflexivita: aRaaRa
  • Antireflexivita: ¬(aRa)\neg(aRa)
  • Symetrie: aRb⇒bRaaRb \Rightarrow bRa
  • Slabá antisymetrie: aRb∧bRa⇒a=baRb \land bRa \Rightarrow a = b
  • Silná antisymetrie: aRb⇒¬(bRa)aRb \Rightarrow \neg(bRa)
  • Tranzitivita: aRb∧bRc⇒aRcaRb \land bRc \Rightarrow aRc

​
Zobrazení

Definice: Zobrazení ff je speciální případ binární relace, kde má každý vzor nejvýše jeden obraz. Vzor: Prvek z množiny XX, psán jako xx. Obraz: Prvek z množiny YY, psán jako f(x)f(x). Zápis: f:X→Yf : X \rightarrow Y přiřazuje každému prvku z množiny XX (vzoru) nejvýše jeden prvek z množiny YY (obraz). Definiční obor: D(f)={x∈X;∀x ∃y∈Y:f(x)=y}D(f) = \{x \in X; \forall x \, \exists y \in Y : f(x) = y \} Obor hodnot: H(f)={y∈Y;∀y ∃x∈X:f(x)=y}H(f) = \{y \in Y; \forall y \, \exists x \in X : f(x) = y\}

​
Druhy zobrazení

Prosté (injektivní): ∀x,y∈X:f(x)=f(y)⇒x=y\forall x,y \in X : f(x) = f(y) \Rightarrow x = y Na (surjektivní): H(f)=Y;∀y∈Y ∃x∈X:f(x)=yH(f) = Y; \forall y \in Y \, \exists x \in X : f(x) = y Bijekce: Zároveň injektivní a zároveň surjektivní. Inverzní zobrazení prostému zobrazení: Mějme prosté zobrazení f:X→Yf: X \rightarrow Y, inverzní zobrazení k tomuto zobrazení je f−1={(y,x)∈Y×X:(x;y)∈f}f^{-1} = \{(y,x) \in Y \times X: (x;y) \in f\}

​
Geometrické zobrazení

Definice: Geometrické zobrazení je zobrazení množiny bodů do množiny bodů.

​
Reálná funkce reálné proměnné

Definice: Zobrazení f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Vzoru xx se říká nezávisle proměnná, obrazu f(x)f(x) se říká závisle proměnná.

​
Vlastnosti funkce ff

  • ff je lichá ⇔∀x∈D(f):f(−x)=−f(x)\Leftrightarrow \forall x \in D(f) : f(-x) = -f(x)
  • ff je sudá ⇔∀x∈D(f):f(−x)=f(x)\Leftrightarrow \forall x \in D(f) : f(-x) = f(x)
  • ff je omezená shora ⇔∃a∈R:∀x∈D(f):f(x)≤a\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R} : \forall x \in D(f) : f(x) \leq a
  • ff je omezená zdola ⇔∃a∈R:∀x∈D(f):f(x)≥a\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R} : \forall x \in D(f) : f(x) \geq a
  • ff je omezená ⇔\Leftrightarrow je omezená shora ∧\land je omezená zdola
  • ff je konstantní ⇔∀x1,x2∈D(f):f(x1)=f(x2)\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in D(f): f(x_1) = f(x_2)
  • ff je rostoucí ⇔∀x1,x2∈D(f):x1<x2⇒f(x1)<f(x2)\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in D(f): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)
  • ff je klesající ⇔∀x1,x2∈D(f):x1<x2⇒f(x1)>f(x2)\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in D(f): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)
  • ff je nerostoucí ⇔∀x1,x2∈D(f):x1<x2⇒f(x1)≥f(x2)\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in D(f): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)
  • ff je neklesající ⇔∀x1,x2∈D(f):x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in D(f): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)
  • ff je monotónní ⇔\Leftrightarrow je rostoucí ∨\lor je klesající
  • ff má v bodě a∈D(f)a \in D(f) minimum ⇔∀x∈D(f):f(x)≥f(a)\Leftrightarrow \forall x \in D(f) : f(x) \geq f(a)
  • ff má v bodě a∈D(f)a \in D(f) maximum ⇔∀x∈D(f):f(x)≤f(a)\Leftrightarrow \forall x \in D(f) : f(x) \leq f(a)
  • ff je periodická ⇔∃a∈R+:∀x∈D(f):f(x)=f(x+a)\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}^+ : \forall x \in D(f) : f(x) = f(x+a)
  • ff je konkávní, konvexní, spojitá
Každá z těchto vlastností může platit pouze na některém intervalu (některé části fce), nebo na celé fci.
Last modified on September 23, 2026